コンピューターに「1+1＝10」って言わせてみよう！

本講座の目標

1. コンピューターにおける, 数値の扱いについて知る.
2. 論理ゲートについて知る.
3. 電子回路を組み立て, 電気の流れで計算が実現できることを体験する.
4. 小さな回路を組み合わせることで複雑な処理を行えることを体験する.

本講座は, 高校「情報I」の内容や, 中学数学で扱う累乗(指数)の内容が登場します.
学術的に見るとかなり難しいですが, 本日は理解することよりも,
電子回路を組み立て, 動かすことを楽しんで取り組んでいただけると幸いです.

本日の講座の流れ

1. 人とコンピューターは数字の数え方が違う!?
   10進数と2進数について解説

2. 1 + 1 を計算させよう！
   半加算器の作成

3. もっと大きな数を計算させよう！
   全加算器の作成

4. 本当に足し算電卓として使えることを確かめてみよう！

本講座のタイトル

コンピューターに「1+1=10」って言わせてみよう!

$1+1$が10なわけ無いじゃん(笑)
って思いますよね?
もちろん「いち たす いち は じゅう」なら間違いですね.
でも, 見かたを変えると正しくもなります.
まずはその数字の見かたを知りましょう.

足し算をしよう

1 + 1 =

2 + 3 =

5 + 6 =

11 + 12 =

足し算をしよう

1 + 1 = 2

2 + 3 = 5

5 + 6 = 11

11 + 12 = 23

• これぐらいの計算, 暗算で簡単に計算できます

• でも･･･

• コンピューターがどう計算するかを追うのは実はすごく大変
• どうして???

10進数と2進数

例えば,

1 3 5 という数について考えましょう.

みなさんは無意識にこのように数を見ているはずです.
100+30+5だから135
もう少し分解すると,

$$1 \times 100 + 3 \times 10 + 5 \times 1 = 135$$

これをもっと分解すると, こうとも見ることができます.

$$\begin{aligned} 100\text{の位}\quad & 1 \times 10 \times 10 = 100 \\ 10\text{の位}\quad & 3 \times 10 = 30 \\ 1\text{の位}\quad & 5 \times 1= 5 \end{aligned}$$

10進数と2進数

このように, 1の位, 10の位, 100の位, ･･･

と数を表す方法を 10進数 といいます.

ですが, コンピューターはこの10進数を使うことができません.

• (「電卓もスマホも普通に計算できるじゃん!」 って思った方へ

• 実は普通に計算できているように見えているだけで,
  私たちには見えないところでコンピューターが頑張ってくれています.)

• じゃあどうやって数字を扱っているの？

10進数と2進数

さっきの135という数字, コンピューターの中ではこうなっています.

$$10000111$$

いっせん万ひゃくじゅういち...???
なにが起こったのか, わけが分かりません

私たちの使う 10進数では,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 の数字と, $\times 10$ (◯の位)で数を表しました.

一方, コンピューターの中では 2進数 を使って数を表します.
この2進数では, 0 と 1 だけで数を表します.
仕組みを知れば簡単です. 一緒に2進数について知っていきましょう.

10進数と2進数

10進数では,このように数を数えました.

$$\begin{aligned} 100\text{の位}\quad & 1 \times 10 \times 10 = 100 \\ 10\text{の位}\quad & 3 \times 10 = 30 \\ 1\text{の位}\quad & 5 \times 1 = 5 \end{aligned}$$

ここで, 100の位というのは $10 \times 10$ の位です.
例えば, $9 + 1$ では, 0 ～ 9 の数字だけで 答えを表すことができないので,
$1 \times 10 + 0 \times 1$ という形で10を表現します.
2進数も同じように数を表現します.

10進数と2進数

10000111 (135)を先ほどと同じように書き表すとこんな感じになります.

$$\begin{aligned} 128\text{の位}\quad & 1 \times 2 \times 2 \times 2\times 2\times 2\times 2 \times 2 = 128 \\ 64\text{の位}\quad & 0 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 0 \\ 32\text{の位}\quad & 0 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 0 \\ 16\text{の位}\quad & 0 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2= 0 \\ 8\text{の位}\quad & 0 \times 2 \times 2 \times 2 = 0 \\ 4\text{の位}\quad & 1 \times 2 \times 2 = 4 \\ 2\text{の位}\quad & 1 \times 2 = 2 \\ 1\text{の位}\quad & 1 \times 1 = 1 \end{aligned}$$

10進数と2進数

2進数の練習

$$\begin{aligned} 0 &= 00000 \quad 8 &= 01000 \quad 16 &= 10000 \quad 24 &= 11000\\ 1 &= 00001 \quad 9 &= 01001 \quad 17 &= 10001 \quad 25 &= 11001\\ 2 &= 00010 \quad 10 &= 01010 \quad 18 &= 10010 \quad 26 &= 11010\\ 3 &= 00011 \quad 11 &= 01011 \quad 19 &= 10011 \quad 27 &= 11011\\ 4 &= 00100 \quad 12 &= 01100 \quad 20 &= 10100 \quad 28 &= 11100\\ 5 &= 00101 \quad 13 &= 01101 \quad 21 &= 10101 \quad 29 &= 11101\\ 6 &= 00110 \quad 14 &= 01110 \quad 22 &= 10110 \quad 30 &= 11110\\ 7 &= 00111 \quad 15 &= 01111 \quad 23 &= 10111 \quad 31 &= 11111\\ \end{aligned}$$

10進数と2進数

2進数の数の数え方の雰囲気は分かりましたか?

2進数を使うと両手で1023まで数えることができます!!!

普通10までしか数えられないのに...!?

実際に数えてみましょう

10進数と2進数

右手の手のひらを自分に向けて数えます. 1で指を立たせて, 0は閉じましょう.

$$\begin{aligned} 0 &= 00000 \quad 8 &= 01000 \quad 16 &= 10000 \quad 24 &= 11000\\ 1 &= 00001 \quad 9 &= 01001 \quad 17 &= 10001 \quad 25 &= 11001\\ 2 &= 00010 \quad 10 &= 01010 \quad 18 &= 10010 \quad 26 &= 11010\\ 3 &= 00011 \quad 11 &= 01011 \quad 19 &= 10011 \quad 27 &= 11011\\ 4 &= 00100 \quad 12 &= 01100 \quad 20 &= 10100 \quad 28 &= 11100\\ 5 &= 00101 \quad 13 &= 01101 \quad 21 &= 10101 \quad 29 &= 11101\\ 6 &= 00110 \quad 14 &= 01110 \quad 22 &= 10110 \quad 30 &= 11110\\ 7 &= 00111 \quad 15 &= 01111 \quad 23 &= 10111 \quad 31 &= 11111\\ \end{aligned}$$

10進数と2進数

大きい数はこうなります. 時間がある時に1ずつ足して確かめてみてください.
(左手) 親指→人差し指→中指→薬指→小指→ (右手) 小→薬→中→人→親

$$\begin{aligned} 1 &= 00000|00001 \quad 32 &= 00001|00000 \\ 2 &= 00000|00010 \quad 64 &= 00010|00000 \\ 4 &= 00000|00100 \quad 128 &= 00100|00000 \\ 8 &= 00000|01000 \quad 256 &= 01000|00000 \\ 16 &= 00000|10000 \quad 512 &= 10000|00000 \\ \end{aligned}$$

$$512+256+128+64+32+16+8+4+2+8+1= 1023$$

$$↓$$

$$1023 = 11111|11111$$

10進数と2進数

数の表し方が分かったので, つぎは計算の方法です.

普通の足し算の筆算と同じように計算できます.

まずは $1+1$ から

$$\begin{array}{ccc} & \scriptsize{1} &\\ & 0 & 1 \\ + & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 0 \end{array}$$

$1+1=10$ ですね!
2進数で10は2なので, 計算内容は正しいことが分かります.
($10 → 2 + 0 = 2$)

10進数と2進数

続いて $3 + 10$

$$\begin{array}{ccccc} & & \scriptsize{1} &\\ & 0 & 0 & 1 & 1 \\ + & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}$$

$11+1010 = 1101$
2進数で1101は13なので正しいことが分かります.
($1101 → 8 + 4 + 0 + 1 = 13$)

10進数と2進数

つづいて問題

$22+14 = ?$

22 + 14 = ?

10進数と2進数の対応表

$$\begin{aligned} 0 &= 00000 \quad 8 &= 01000 \quad 16 &= 10000 \quad 24 &= 11000\\ 1 &= 00001 \quad 9 &= 01001 \quad 17 &= 10001 \quad 25 &= 11001\\ 2 &= 00010 \quad 10 &= 01010 \quad 18 &= 10010 \quad 26 &= 11010\\ 3 &= 00011 \quad 11 &= 01011 \quad 19 &= 10011 \quad 27 &= 11011\\ 4 &= 00100 \quad 12 &= 01100 \quad 20 &= 10100 \quad 28 &= 11100\\ 5 &= 00101 \quad 13 &= 01101 \quad 21 &= 10101 \quad 29 &= 11101\\ 6 &= 00110 \quad 14 &= 01110 \quad 22 &= 10110 \quad 30 &= 11110\\ 7 &= 00111 \quad 15 &= 01111 \quad 23 &= 10111 \quad 31 &= 11111\\ \end{aligned}$$

22 + 14 = ?

22は10110, 14は1110でした. 10110+1110を計算します.

$$\begin{array}{ccccccc} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & & \\ & & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ + & & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array}$$

$10110 + 1110 = 100100$
$100100 → 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 36$
こちらの計算結果も正しいですね!
これで2進数の計算方法はマスターできました!

なぜ2進数？

コンピューターが2進数を使って数を表現していて, 2進数を使って計算することが
分かりました!ですが, なぜこんな面倒なことをするのでしょう???

• 実はコンピューターはスイッチの集合体だから

• 詳しいことは難しいので説明を省きますが, スイッチの集合体である関係で, オン と オフ という状態しか扱うことが出来ません.
  オン を 1, オフ を 0 というように電気や情報の世界では扱うので,
  0 と 1 だけで数を表現する2進数が使われます.
  (難しいので理解しなくて大丈夫です)

計算機を作る準備

今回の講座のゴールは大きな数の足し算を実現する, 計算機を作ることです.
もう少し簡単に言うと, 足し算だけができる電卓(足し算電卓)を作ることです.
電卓を作るには全加算器という部品を作る必要があります.
さらに, 全加算器を作るためには半加算器という部品を作る必要があります.
これからみなさんには, 手順に従って全加算器を作ってもらいます!
そして, みなさんが作った全加算器を組み合わせて, 足し算電卓を作ります.

道具の説明

ブレッドボードについて

画像で線が引かれている部分は電気の道(回路)が繋がっています.

道具の説明

ブレッドボードについて

試しに画像のように部品を刺してみましょう.
LEDは, 足が長いほうが上, 短いほうが下です!
抵抗は青い方に繋がっています.

道具の説明

ブレッドボードについて

このとき, 電気の流れはこのようになっています.
電気の流れを追っていったとき, 乾電池の+からーに帰ってきています.
電気の道で円が作れていれば, 電気が流れます. だからLEDが光るんですね.

1 + 1 を計算させよう

2進数でいう 1 ケタの足し算は

$$\begin{aligned} 0 + 0 = 00 \quad \\ 0 + 1 = 01 \quad \\ 1 + 0 = 01 \quad \\ 1 + 1 = 10 \quad \end{aligned}$$

となります.
コンピューターにこのような計算をさせる回路(計算機)を作ってみましょう.

1 + 1 を計算させよう

$$\begin{aligned} 0 + 0 = 00 \quad \\ 0 + 1 = 01 \quad \\ 1 + 0 = 01 \quad \\ 1 + 1 = 10 \quad \end{aligned}$$

計算結果の1ケタ目に注目します.
$0+0または1+1$ のときに0, $0+1または1+0$ のときに1となっています.
計算結果の2ケタ目に注目します.
$1+1$ のときのみ1, それ以外は0となっています.
2つの入力に対して, このような出力が得られる回路を作ります.

論理演算

このような計算をさせるには, 「論理演算」 をする必要があります.

具体的には 「AND」「XOR」というものを使います.

1ケタ目をXORが計算し, 繰り上がりのケタをANDが計算します.

何を言っているのかさっぱりだと思うので, 表と具体例を使って説明します.

動作確認

画像と同じようにブレッドボードに部品を挿してみてください.

動作確認

スイッチを右にスライドさせると オン になります.
どちらかのスイッチをオンにしたときはLEDが光って, 両方のスイッチをオンにしたときにはLEDが光らなければ正しくできています!

ロジックICについて

黒い四角はコンピューターの一種で, これを「ロジックIC」といいます.
先ほど電気や情報の世界では オンを 1, オフを 0 と表現すると説明しました.
スイッチがオンであれば電気が流れます. これが 1 ,
スイッチがオフであれば電気は流れません. これが 0
ということです.
そして, ロジックICに電気を流していれば入力が 1,
ロジックICが電気を流していれば出力が 1 と表現します.
出力が 1のときはLEDに電気が流れてLEDが光るといった具合で回路は動作します.

動作確認

LEDと抵抗, 配線を追加します. 画像のように部品を挿してください.

動作確認

両方のスイッチをオンにしたときだけ左のLEDが光れば正しくできています!

1 + 1 の回路

実は動作確認のついでに$1+1$までの足し算を行う回路を作ってもらっていました.
左のLEDが繰り上がりのケタ(2の位), 右のLEDが1の位の数を表しています.
これで,
$0 + 0 = 00 , 0 + 1 = 01 , 1 + 0 = 01 , 1 + 1 = 10$
を計算させることができました.
この状態だと計算ができているという感じがしないので,
のちほど2進数を10進数に変換する回路を紹介します.

1 + 1 の回路

現在の回路をシンプルな接続図で表したものがこちらです.

無事 $1 + 1$ を計算する回路を作ることができました!
この回路こそが先ほど紹介した「半加算器」です.

2ケタ以上の足し算ができる回路

• 半...??
• この回路だけでは 1ケタと1ケタの足し算しかできません.
  2ケタ以上の数, 自由な大きさの数を計算させるためには
  「全加算器」が必要です.
  全加算器を作って, もう少し大きい数の足し算を計算させてみましょう!

全加算器

半加算器では 入力1 と 入力2 の足し算をするだけで計算をすることができました.
しかし, 2ケタの計算をするときはどうでしょうか.
例えば, $3 + 3$ ($11 + 11$) を計算してみます.

$$\begin{array}{ccccc} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} &\\ & 0 & 1 & 1 \\ + & 0 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

このとき, 計算結果の2ケタ目に注目しましょう.
このケタの計算は, $1 + 1$ ではなく, 1ケタ目の繰り上がりによって
$1 + 1 + 1$ を計算していますね? この計算をするのが全加算器です.

全加算器

全加算器はこのように作ります.
先ほど作った半加算器とOR(次のスライドで解説)を組み合わせると作れます.

難しいので, 理解しなくて大丈夫です.

動作確認

LEDと抵抗, 配線を追加します. 画像のように部品を挿してください.

動作確認

まずこの状態にしてからLEDに配線を繋げると良いです.

動作確認

両方のスイッチがオフのときだけ左端のLEDが消えれば正しくできています!

全加算器

続いて, 全加算器を作ります. 画像のように部品を刺しましょう.
さっき作った半加算器は後で使うのでそのまま残しておきます.

全加算器

見づらいので, 長い配線を抜いた状態を載せます.
茶色は長さが少し合っていないですが, I(ｱｲ)の行に無理やり挿してください.

全加算器

左上, 右上, 左下のスイッチを使います. 下右は使いません.

2ケタの足し算

XOR, AND, ORを使って, 半加算器と全加算器を作ることができました.
半加算器と全加算器を1個ずつ組み合わせると,
2ケタの足し算ができるようになります.

2ケタの足し算

このように組み合わせます.

2ケタの足し算

画像と同じ用に部品を刺しましょう. 今回は変わるところが少ないです.

23と24の銀を外し, 23と26をオレンジで繋ぎます.
長い黄色で下の17と上の43を繋ぎます.

もっと大きな数の足し算

2ケタ($11 + 11 = 110$まで)の足し算ができる回路を作りました.
実は全加算器を作ることができたなら, あとは全加算器を増やすだけで
計算できるケタを大きくすることができます.

もっと大きな数の足し算

例えば,4ケタの足し算の回路を作ったときの図はこんな感じです.

もっと大きな数の足し算

$1011+1111$ を計算させると, このような流れで$11010$ が出力されます.

もっと大きな数の足し算

ということで, 大きな数の計算をしてみましょう.
今日の講座には21人が参加しています.
全加算器が21個と, 半加算器1つを使えば22ケタ+22ケタまでの計算をさせることができます.

• 全部つなげて計算させてみましょう!!!

本当に計算ができることを確認しよう

一人ひとりが持っている回路だけでは,
「コンピューターが計算してくれている!」という感じがしませんが,

みなさんの作った全加算器を全部つなげると

$$4194303 + 4194303 = 8388606$$

までの足し算をすることができます!

実際に繋いで, 本当に計算ができることを確かめてみましょう.

本当に計算ができることを確認しよう

大きな数の計算結果を表示するための回路を作ってきました.
これに各桁の計算結果を入力することで, 計算結果が正しいことを確かめます.

足し算回路を作る

全加算器の回路に戻します. その後, 左下のスイッチを外してください.

足し算回路を作る

出力2を他の人のブレッドボードの下7番に接続し, 出力1を表示用回路の入力に接続します.

足し算回路で計算する

ここでは計算例として, $3595117+1797558=5392675$を計算させてみます.
2進数で計算するとこうなります.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccc} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & \scriptsize{1} & & & \\ & & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ + & & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}$$

10進数で表示させよう

現在, 計算結果をLEDを使って2進数で表しています.
4つ目のICと7セグメントLEDを使って, 10進数の数で表示できるようにします.

まずは, 11+11までを計算できる回路に繋げ直しましょう.

10進数で表示させよう

続いて, ICと7セグメントLEDに抵抗と配線を追加します.
まずはLEDと抵抗, 長い線を取り外してください.

10進数で表示させよう

17から54に, 19から48に, 36から49に接続します.
電源を接続し, 0から6が表示されることを確認してみてください.

10進数で表示させよう

接続図はこのようになっています.

余談

大学ではどんな勉強をするの?

実は, 大学では一度もこのブレッドボードを触ったことはありません.
実物を使って回路を作る代わりに, 「VHDL」というハードウェア記述言語で回路を設計し, 「FPGA」というものに書き込んで, 設計した回路の動作を確認します.

VHDL

ハードウェア記述言語の一種

みなさんがよく耳にする, プログラミング言語とは異なります.
すごく簡単に言うと,
設計したい回路に対して
「入力に対してどのような出力をするのか」
を, プログラミングのように書きます.

最後に

これで講座は以上になります. お疲れ様でした!
いかがだったでしょうか. 最初にお話した通り, 理解するには難しい内容だったと思いますが, ブレッドボードでの回路作成を通して, 電子や情報の楽しさやおもしろさを感じてもらえたなら嬉しく思います.
今回の講座を通して電子工作に興味を持ってもらえた場合, ネットで調べると電子工作に関する色んなサイトが出てきますので, ぜひ参考にしてください.
色んな回路を作るには, 今回使ったLEDやロジックIC以外の部品が必要になりますが, そのほとんどはこのお店に売っていますよというのを紹介しておきます. (今回の部品もここで注文しています.)
→秋月電子通商

付録

使用する抵抗値の算出方法

データシート(特性表)より,
ICの出力する電圧 $V_{CC}=4.5V$, LEDの電圧降下$V_F=2.1V$,
LEDの定格電流$I_F=0.02A$であるので, オームの法則より,

$$R = V/I = (4.5-2.1)/0.02 = 120Ω$$

7セグメントLEDの電圧降下$V_F=1.8V$, 定格電流$I_F=0.02A$
同じ120Ω抵抗を使った場合

$$I = V/R = (4.5-1.8)/120 = 0.0225A$$

定格より少し大きいが, 問題無い程度.